2.5三角形的内切圆&切线长定理（八大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》 2.5 直线与圆的位置关系（2） 三角形的内切圆 & 切线长定理 知识点一 三角形的内切圆 圆的轴对称性 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 知识点二 切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 题型一 切线长定理的应用 【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式1-1】（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 【变式1-3】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1-4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40° ①求△PEF的周长； ②求∠EOF的度数． 【变式1-5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 题型二 三角形内切圆中求角度 【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．99° B．102° C．104° D．152° 【变式2-1】（2022•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（　　） A．50° B．52° C．54° D．56° 【变式2-2】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是上一点，则∠EPF的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式2-4】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．25° 【变式2-5】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．80° 题型三 三角形内切圆中求线段长 【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 【变式3-1】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长