4.4 对数函数知识探究 专题讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《对数函数》知识探究 探究点1 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的依据: (1)形如; (2)底数满足,且; (3)真数为,而不是的函数; (4)定义域为. 【要点辨析】 学习对数函数概念的注意事项 (1)对数符号前面的系数是1. (2)由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,所以对数函数的定义域是. (3)对数函数中底数的限制条件:,且. 学科素养:根据对数函数的概念、推测解释,从而解决问题,提升学生的数学抽象、数学运算核心素养. 典例1 [概括理解能力]已知下列函数①;②;③;④是常数).其中是对数函数的是__________(只填序号). 解析:本题主要考查根据对数函数概念判断命题是否成立,具体解题过程如下:根据对数函数的真数是,而不是的函数;对数函数的系数是1;对数函数的底数,且得到①②④都不是对数函数. 答案:③ 探究点2 对数函数的图象与性质 1.对数函数,且的图象特点 (1)图象在轴右侧,且过点. (2)图象都无限地靠近轴,但不会与轴相交. (3)当时,图象自左向右“上升”,当时,图象自左向右“下降”. 2.底数对函数图象的影响 (1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当时,对数函数的图象“上升”;当时,对数函数的图象“下降”. (2)函数与,且的图象关于轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是还是,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较:在直线的右侧,时,越大,图象向右越靠近轴;时,越小,图象向右越靠近轴. ②左右比较:比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.(如图所示) 【要点辨析】 两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线右侧的部分是“底大图低”.(如图所示) 学科素养:利用对数函数的图象与性质解决相关问题,提升学生的数学运算核心素养. 典例2 [分析计算能力](1)(2018广东汕头一中期中)已知,且,则函数的图象必过定点_________. (2)若函数,且的图象恒过定点,则实数的值分别为_________. (3)(2018江苏徐州一中高一检测)设,,其中. ①若,求的值; ②若,求的取值范围. 解析:通过对数函数的图象特征和基本性质分析计算解决本题.具体解题过程如下: (1)当即时,恒成立,所以的图象必过定点. (2)∵函数的图象恒过定点将代入,得,又当,且时,恒成立,∴. (3)①∵, ∴,解得,经检验,在函数的定义城内, ∴. ②, 即, ∴解得, ∴的取值范围为. 探究点3 对数函数图象的变换 1.常见的图象变换 一般地,函数(为正数)的图象可由函数的图象变换得到. 将的图象向左或向右平移个单位长度可得到函数的图象,再向上或向下平移个单位长度可得到函数的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减) 2.含有绝对值的函数的图象变换 一般地,的图象是与直线对称的对称图形;函数的图象与的图象在轴上方相同,在轴下方关于轴对称. 【要点辨析】 常见的对数图象变换: 学科素养:利用对数函数图象的变换解决对数型函数的图象问题,培养学生的直观想象核心素养. 典例3 [观察记忆能力]函数是( ) A. B. C. D. 解析:解决此类问题可以根据对数函数性质变换解析式,也可以观察图象,用排除法,具体解题过程如下: 方法一:,而的图象与的图象关于轴对称,所以将的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象. 方法二:根据定义域、单调性排除选项A、B、D. 答案:C 探究点4 几类函数模型的增长差异 1.几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧上升,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型:当时,幂函数是增函数,且当时,越大其函数值的增长就越快. 2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地,在区间上,尽管函数,和都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上. 随着的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度会越来越慢. 因此,总会存在一个,当时,就有. 3.指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 性质函数 在上的 单调性 递增 递增 递增 增长速度 越来越快 越来越慢 越来越快 图象的变化 随x的增大 越来越陡 随x的增大逐渐变缓 随着n值的 不同而不同 【要点辨析】 1.进一步理解三个增长函数模型 (1)直线上升,其增长量固定不变. (2)指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上