专题06 二次函数中面积问题的两种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题06 二次函数中面积问题的两种考法 类型一、面积最值问题 例．抛物线交x轴于点，交y轴于点．    (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围． (3)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大． 【变式训练1】如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及值； (2)抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标； (3)点是抛物线上一动点，且在第三象限，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积． 【变式训练2】如图，抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 类型二、求面积问题 例．已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．    (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积； (3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标． 【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．    (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若， ①求m的值； ②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标． 【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标； (3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积． 课后训练 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线顶点为，点在第三象限的抛物线上， ①若直线与直线关于直线对称，求点的坐标； ②如图2，若直线与抛物线交于点，，，与抛物线线的对称轴交于点，若，连接，，求的取值范围． 2．已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 3．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数中面积问题的两种考法 类型一、面积最值问题 例．抛物线交x轴于点，交y轴于点．    (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围． (3)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大． 【答案】(1)；；对称轴直线 (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象即可得出结论； （3）过点作轴交于点，设，则，则，再由此求解即可． 【详解】（1）将点，代入， ， 解得， ； 令，得 解得： ∴， 对称轴直线 （2）由（1）得：， ∴当或时， （3）设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点，    设，则， ， ， 当时，的面积有最大值， 此时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键． 【变式训练1】