专题06 一元二次方程特殊解的两种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题06 一元二次方程特殊解的两种考法 类型一、换元法 例1．若，则的值是（    ） A． B．1 C．1或 D．1或6 例2．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程  的根为 ． 【变式训练1】已知实数x满足，则代数式的值为 ． 【变式训练2】已知，且，则的值是 ． 【变式训练3】若，则 ． 【变式训练4】阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2  已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：解方程：． (2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值． (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值． 类型二、构造法 例1.已知a、b、c均为实数，且，，则______． 【变式训练1】解方程组：． 【变式训练2】已知实数， 满足等式，，则的值是______． 【变式训练3】已知a、b、c满足，，，则_______． 课后作业 1．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． 2.若实数x，y满足，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．或2 3．若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为 ． 4．若，求的值为 ． 5．解方程：． 6．解关于的方程：． 7．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共3页 $$ 专题06 一元二次方程特殊解的两种考法 类型一、换元法 例1．若，则的值是（    ） A． B．1 C．1或 D．1或6 【答案】B 【分析】设，而，可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 例2．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程  的根为 ． 【答案】， 【分析】设，将方程化为，进而得到，是方程的两根，由此求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴，即， ∵和2是关于x的一元二次方程的两根， ∴，是方程的两根， ，， ，， 方程的根为，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键． 【变式训练1】已知实数x满足，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次方程，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式，方程有解． 【详解】解：设， 由原方程，得， 整理，得， 所以或． 当时，，则； 当时，即时，，方程无解，此种情形不存在． 故答案是：2023． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换． 【变式训练2】已知，且，则的值是 ． 【答案】或 【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵ ∴将两边同除以得： 令，则 因式分解得：，解得或，即的值是或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键． 【变式训练3】若，则 ． 【答案】4 【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可． 【详解】解：设，原方程可化为， 化为一般式得：， 解得：t=4或t=-2， ∵， ∴t=4， ∴4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程． 【变式训练4】阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2  已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：解方程：． (2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值． (3)