第1章 勾股定理（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（北师大版）

第1章 勾股定理（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 2．直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12， 所以．所以＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24， 所以．所以＝10． 【变式1】如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积． 【答案与解析】 解：延长AD、BC相交于点E ∵ ∠B＝90°，∠A＝45° ∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2 ∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°， ∴ CD＝DE＝1 ∴ ，． ∴ ． 【变式2】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长． 【答案】 解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D， 在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2， ∴AD===3， ∵∠ABC=135°， ∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3， 在Rt△ADC中，CD=2+3=5， 由勾股定理得，AC===． 【变式3】长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长． 【答案与解析】 解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x， △ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16． ∴x=（cm）． 答：DE的长为cm. 【变式4】如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E点应建在距A站10千米处． 【详解】解：设， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，即， 由勾股定理，得, ∴， 解得． ∴E点应建在距A站10千米处． 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【例2】请用两种方法证明：△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c2 【解答】证明：方法一： 如图，用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，每个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c， ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝a+b， ∴四边形ABCD为正方形， ∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE＝∠DEH， ∴∠DEH+∠AEF＝90°， ∴∠FEH＝90°， 同理可得： ∠EFG＝∠FGH＝∠EHG＝90°， ∵EF＝FG＝GH＝EH＝c， ∴四边形EFGH为正方形， ∴S▱ABCD＝AB2＝（a+b）2，S▱ABCD＝S▱EFGH+4S△AEF＝c2+4×ab＝c2+2ab， ∴（a+b）2＝c2+2ab， ∴a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2； 方法二： 如图，放置两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c，连接BE，构造直角梯形BCDE， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴梯形BCDE为直角梯形， ∴S梯形BCDE＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2）， ∵∠BAC＝∠AED，∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝90°， ∴S梯形BCDE＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2， ∴ab+（a2+b2）＝ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 【变式1】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN