三次函数知识点总结 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

三次函数知识点总结 第一节三次函数 新高考对于三次函数一般有以下三个考点 第一个考点：围绕导数的几何意义展开，求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大. 第二个考点：围绕利用函数研究函数的单调性，极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数范围等问题 第三个考点：围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用. [基础知识整合] 知识点一：三次函数概念 定义：形如叫做三次函敞 ，把叫做三次函数导函数的判别式 当时，令，记两根为 知识点二：三次函数的图像及单调性 注音：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 系数关系式 的图像 的图像 的性质 恒成立 在上递增 无极值点 恒成立 在上递减 无极值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 知识点三：三次函数的零点个数 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 知识点四：三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，则 (1) (2) (3) (4) [证明] 设 即 故 知识点五：三次函数的对称性 结论1三次函数的图象关于点中心对称 [证明] 设的图象关于对称，则满足 所以三次函数图像关于点中心对称 结论2已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为，则 [证明] 故 所以，证毕. 结论3若图像关于点对称，则图像关于轴对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 知识点六：三次函数的零点性质定理 定理一 已知： 三次函数的图象与轴交点分别为，点是三次函数固象上异于，的一点，且在点处的切线的斜率为，的斜率分别为 结论： [证明] 设 则 故 代入点得， 又 同理，所以，证毕. 定理二 已知： 三次函数图像与轴交点分别为，点是平面上任意一点，，的斜率分别为 结论： [证明] 设，由题 则 所以，证毕. 定理三 已知： 三次函数的图像与轴交点分别为，且在这三点处的切线的斜率分别为 结论： [证明] 由题 故 故 所以 所以，证毕. 定理四 已知： 三次函数在其中心对称点处切线的斜率为，且的图像与轴的交点分别为在这三点处的切线的斜率分别为 结论： [证明] 由题 故 所以 即， 化简得， 又由韦达定理待 即，所以， 代入导函数化简得 所以， 即，证毕. 定理五 已知：三次函数的图像与轴的交点分别为，过的法线为，过的法线为，过且与轴垂直的直线为，若与交点为与交点为 结论： 的中点恰为 [证明] 由题 故 故 方程：，令 方程：，令 所以，即的中点为，证毕. 知识点七：三次函数的割线性质定理 定理一 已知： 在三次函数的图像上任取点作一条切线，切点为过作一条割线，交点为 结论： 点的横坐标平分的横坐标.即 [证明] 设，过点的直线 则既在三次函做图像上，也在直线上，满足方程组， 两式相减得 即 化简得 此时是该方程的两根 由韦达定理得，同理当是切线时， 所以点的横坐标平分的横坐标，证毕. 推论一 已知： 在三次函数的图像上任取点，过点作一条切线，切点为，过点作两条割线，交点分别为与 结论： 点的横坐标平分的横坐标，也平分的横坐标，即 [证明] 由定理一知：，故，证毕. 推论二 已知： 在三次函数的图像上任取点，过作两条切线，切点分别为 结论： 点的横坐标平分的横坐标，即 [证明] 证法同定理一 定理二 已知： 三次函数的中心对称点为点，极大值为，且的两拫为的极小值点为 结论： 区间被与平分，即.(四段㭫坐标差相等) [证明] 由三次函籹对称性知，与关于点对称，所以 又由推论一知：，故 所以区间被与平分，证毕. 知识点八：三次函数的切线条数判断定理 类型一：过三次函数图像上任一点的切线 设点为三次函数图像上任一点，则过点一定有直线与的图像相切. 若点为三次函数图像的中心对称点，则过点有且只有一条切线； 若点不是三次函数图像的对称中心，则过点有两条不同的切线. [证明] 设，过点的切线可以分为两类： (1)若