专题3.4 直线与圆锥曲线的位置关系-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.4直线与圆锥曲线的位置关系 知识点一 直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 知识点二 “弦”的问题 考点01 直线与椭圆的交点问题 【典例1】（2023秋·高二课时练习）直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·江苏·高二假期作业）已知椭圆，直线，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标． 【总结提升】 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点 (1)判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)后当得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ， ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若Δ的表达式非常复杂，则可以采用列而不求，最后验证的策略． 提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交． 考点02 椭圆中“弦”的问题 【典例4】（2022秋·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 【典例5】（2023·江苏·高二假期作业）如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求：      (1)线段的中点M的坐标； (2)的值． 【典例6】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，与共线. (1)求椭圆的离心率； (2)若（异于）为椭圆上一点，且，求的值. 【规律方法】 1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下： 2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用． 3.求解弦长的四种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入两点间的距离公式． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 考点03 直线与双曲线的交点问题 【典例07】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【典例08】（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知直线与曲线只有一个公共点，求实数a的值； 【典例09】（2023·全国·高二课堂例题）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. 【规律方法】 1. 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 2.直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断. 3.直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． 考点04 双曲线中“弦”的问题 【典例10】（2023·全国·高二课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【典例11】（2023秋·高二课时练习）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)