专题3.3 垂径定理及其推论【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题3.3 垂径定理及其推论【十大题型】 【浙教版】 【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 1 【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 2 【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 3 【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 5 【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】 6 【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】 7 【题型7 垂径定理的实际应用】 8 【题型8 垂径定理在格点中的运用】 9 【题型9 利用垂径定理求整点】 11 【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】 12 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心 C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦 【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　） A．DE=BE B． C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形 【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦垂直平分，若，则r的值是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ． 【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则 的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°． （1）若AP=2，BP=6，求MN的长； （2）若MP=3，NP=5，求AB的长； （3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围． 【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，的弦垂直于，点为垂足，连接．若，，则的值是（　　）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图 (1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线； (2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形． 【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图像被截得的弦的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，求点的坐标． 【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ． 【变式4-3】（