2.5直线与圆的位置关系（切线的判定与性质，十大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》 2.5 直线与圆的位置关系（1） 直线与圆的位置关系 & 切线的判定与性质 知识点一 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点二 圆的切线的判定定理 ◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 ◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点三 圆的切线的性质定理 ◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ◆2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 题型一 判断直线和圆的位置关系 【例题1】（2023•南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 解题技巧提炼 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离． 【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式1-2】（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．平行 【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式1-4】（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切 【变式1-5】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？ （1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm． 题型二 根据直线和圆的位置关系确定交点个数 【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 解题技巧提炼 直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系： 1、直线和圆相交⇔两个公共点， 2、直线和圆相切⇔一个公共点， 3、直线和圆相离⇔没有公共点． 【变式2-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数 为（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式2-2】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【变式2-3】已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式2-4】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围 【例题3】（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角