第02讲 空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第02讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量基本定理 ·模块二 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 ·模块三 课后作业 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【考点1 用空间基底表示向量】 【例1.1】（2023春·高二单元测试）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023春·江苏常州·高二校考阶段练习）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023秋·河南许昌·高二校考期末）如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【考点2 由空间向量基本定理求参数】 【例2.1】（2023春·甘肃兰州·高二校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【例2.2】（2023·江苏·高二专题练习）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2022·全国·高二假期作业）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2022秋·河南·高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 正交分解】 【例3.1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 【变式3.2】（2023秋·黑龙江大庆·高二统考期末）是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 模块二 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向