14.1.3反证法　课件　　2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回 答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗? 他运用了怎样的推理方法? 导 创设情境 问题生成 　　这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 所以，李子是苦的 导 创设情境 问题生成 他运用了怎样的推理方法? 14.1.3 反证法 学 自主学习 合作探究 导读单 2反证法的一般步骤是什么 A C C 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，　AC=b,∠C≠90°”，请证明a2 +b2 ≠ c2　 a b c 1如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 学 （合作探究） A C C “在△ABC中，AB=c，BC=a，　AC=b,∠C≠90°”，请证明a2 +b2 ≠ c2　 a b c 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 发现知识： 学（合作探究 ） 分析：想从已知条件∠C≠90°出发, 直接经过推理,得出结论,十分困难.我们可以换一种思 维方式,用如下方法证明这个结论: 探究： （1）假设a2 +b2 ＝c2 （2）由勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形且∠C=90°与已知条件∠C≠90°相矛盾 （3）因此假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2　成立。 2反证法的一般步骤: 假设命题结论不成立 假设不成立 假设命题结论反面成立 与已知条件矛盾 假设 推理得出的结论 与定理，定义，公理矛盾 所证命题成立 什么时候运用反证法呢？ 动动脑 学 （合作探究） 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　（　　　　　　　） 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B ＝ ∠ C AB＝AC 等角对等边 已知AB≠AC ∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 3 感受反证法: 练 （学思联动 ） 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。 　所以两条直线相交只有一个交点。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 4求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。 a b A ● A， ● 练（ 变式训练 ） A 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 　　∴a//b. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 5 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b a b c 练 （ 变式训练） 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　。 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∠A+∠B+∠C>180° 三角形的内角和为180度 △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 点拨：至少的反面是没有！ 6 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 展 分享展示 质疑解难 万事开头难，让我们走好第一步！ 写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b a∥b 1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面