2.2.3直线的一般式方程（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3　直线的一般式方程导学案 学习目标 1. 理解并掌握直线的一般式方程的形式特征 2. 掌握直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化 3. 掌握直线与二元一次方程一一对应的关系 重点难点 1. 教学重点： 直线的一般式方程与其他几种特殊形式的互化 2. 教学难点： 直线的一般式方程的应用. 课前预习 自主梳理 要点一　直线的一般式方程 1．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示． 2．一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 要点二　直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝ 不能表示 不存在的直线 斜截式 y＝ 不能表示 不存在的直线 两点式 x1≠x2，y1≠y2 截距式 不能表示 的直线 一般式 无 思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 提示 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)直线的一般式方程都可以化为截距式方程．(　　) (2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(　　) (3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．(　　) (4)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　　) 2.不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.直线的倾斜角是（　　） A．30° B．60° C．120° D．135° 4.无论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点是（    ） A． B． C． D． 5.已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题． 问题1：(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 设计意图：使学生理解直接和二元一次方程的关系，明确直线的一般方程的概念。 环节二 观察分析，感知概念 先看问题（1）．任意一条直线，在其上任取一点，当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为 ， 这是关于，的二元一次方程． 当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为， 上述方程可以认为是关于，的二元一次方程，因为此时方程中的系数为0． 方程和都是二元一次方程， 因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示． 环节三 抽象概括，形成概念 反之，对于任意一个二元一次方程 （，不同时为0）， 如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线． 当时，方程可变形为 ， 它表示过点，斜率为的直线． 当时，，方程可变形为 ， 它表示过点且垂直于轴的直线． 由上可知，关于，的二元一次方程都表示一条直线． 我们把关于，的二元一次方程 （其中，不同时为0)叫做直线的 方程，简称 式(general form)． 环节四 辨析理解 深化概念 问题2：直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？ 学生通过比较讨论，发现直线的一般式方程与其他的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所以直线，而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线。 设计意图：使学生理解直线的一般式方程与其他形式的直线方程的不同点，是学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线在直角坐标系中位置的影响。 问题3：在方程中，，，为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴？②平