3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握抛物线的定义、标准方程及其几何性质。 2. 运用解析法（坐标法）研究抛物线的标准方程和几何性质，并能利用其解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 抛物线的概念及其标准方程 定义：一般地，我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 () () () () 二、新课讲授 例1 经过抛物线焦点的直线交抛物线于 两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于，求证：直线平行于抛物线的对称轴. 证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系. 设点 (,)， (,)，抛物线的方程为(). 过焦点的直线方程为 . 整理得. 所以 ，即= ， 则直线方程. 因为 ， 所以直线方程 = . 令，得点= ， 所以 所以直线平行于轴. 所以直线平行于抛物线()的对称轴. 还有其他证明方法吗？ 课本证明的方法 变式训练 经过抛物线()焦点的直线交抛物线于 两点，经过点作垂直准线于点，求证： 三点共线. 分析：证明三点共线的方法 法一：证明 考虑斜率是否存在. 法二：∥ 如果≠ ，那么与共线的充要条件是： 存在唯一实数λ，使得= λ . (,), ， ∥⇔ - =0. 证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系. 设点 (,)(≠0)，则(,) (≠0). 所以= (,) (≠0). 当= 时，易知结论成立. 当 ≠ 时，直线的方程为 . 得. 所以 ，即= ， 将代入，得= 所以= (,). 因为×() × = =0 所以∥ ，因此 三点共线. 例2 如图，已知定点 (,)， ⊥ 轴于点， 是线段上任意一点， 于点， 于点，与相交于点，求点的轨迹方程. 轨迹：符合一定规则的点集. 轨迹方程：点的坐标所满足的方程. 分析：点在直线上 直线的方程 →需求出点坐标 点坐标 →横坐标与点相同，纵坐标与点相同 点坐标 →横坐标与点相同，纵坐标未知，但点在直线上 解：设点 (,)， (,)，其中0≤ ， 则点(,). 由题意，直线的方程为 因为点在上，将点的坐标代入，得 ② 所以点的横坐标满足②. 直线的方程为 因为点在上，将点的坐标代入，得 ④ 将②代入，得 整理得 所以点的轨迹方程为得 建系→设未知点→满足条件→代入条件中→条件化简 设点关于轴对称点为点，则方程为 对应的轨迹是抛物拱. 12 变式训练 如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，款为7m，高为0.7m.根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程. 解：设抛物线方程为(). 因为点在抛物线上，所以 ， 解得8.75 所以这抛物线方程为 三、课堂小结 1、解决实际问题的一般方法 四、作业布置 课本P138：练习 第4、5题 2、加强训练运算能力，学会优化求解过程 $$