专题18 解直角三角形（真题4个考点模拟9个考点） -学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）

专题18 解直角三角形（真题4个考点模拟9个考点） 一．解直角三角形（共1小题） 1．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　） A． B． C． D．4 【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝， ∴AB＝， ∴， ∵∠DBC＝∠A． ∴cos∠DBC＝cos∠A＝， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 二．解直角三角形的应用（共2小题） 2．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60． 【分析】由四边形AEFD为矩形，可得AD∥EF，则∠BAD＝∠EBA，又AB＝10cm，结合三角函数值可求出AE与BE的长度，又∠ABC是90°，在Rt△BCF中，结合三角函数值可求出BF，CF的长度，由零件的截面面积＝矩形AEFD的面积﹣△ABE的面积﹣△BCF的面积，即可得出结论． 【解答】解：法一、如图， ∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°， ∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°， ∴∠BAD＝∠EBA＝53°， 在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°， ∴sin∠EBA＝≈0.80，cos∠EBA＝≈0.60， ∴AE＝8cm，BE＝6cm， ∵∠ABC＝90°， ∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°， ∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°， 在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm， ∴sin∠BCF＝≈0.80，cos∠BCF＝≈0.60， ∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm， ∴EF＝6+4.8＝10.8cm， ∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2）， S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2）， S△BCF＝•BF•CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2）， ∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）． 法二、如图，延长AB交DC的延长线于点M， ∴∠BCM＝∠A＝53°， ∴cos53°＝≈0.6， ∴CM＝10， ∴BM＝8， ∴AM＝AB+BM＝18， ∵AD＝AM•sinA＝14.4， DM＝AM•cosA＝10.8， ∴截面的面积＝S△ADM﹣S△BCM＝＝AD•DM﹣BC•BM＝53.76（cm2）． 【点评】本题主要考查解直角三角形，题目本身不难，但是计算比较复杂，清楚了解每一步如何计算是解题基础． 3．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离． （参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可． 【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D， ∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米）， 在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°， ∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米）， tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米）， 则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 4．（2023•安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）． 参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 【分析】在不同的