第一章集合新定义创新题-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合新定义创新题 1．设全集U＝{1，2，⋯，n}（n∈N*），集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为 U的R（t）子集： ①t∈A； ②∀a∈A，∀b∈∁UA，若ab∈U，则ab∈A； ③∀a∈A，∀b∈∁UA，若a+b∈U，则a+b∉A． （Ⅰ）当n＝6时，判断A＝{1，3，6}是否为U的R（3）子集，说明理由； （Ⅱ）当n≥7时，若A为U的R（7）子集，求证：2∉A； （Ⅲ）当n＝23时，若A为U的R（7）子集，求集合A． 2．设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集A1，A2，…，Am满足： ①A1，A2，…，Am均非空； ②A1，A2，…，Am中任意两个集合交集为空集； ③A1∪A2∪…∪Am＝A． 则称A1，A2，…，Am为集合A的一个m阶分拆． （1） 若A＝{1，2，3}，写出集合A的所有2阶分拆（其中A1，A2与A2，A1为集合A的同一个2阶分拆）； （2） 若A＝{1，2，3，…，n}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，求|P﹣Q|的最大值； （3） 设A1，A2，A3为正整数集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n∈N*，n≥3）的3阶分拆．若A1，A2，A3满足任取集合A中的一个元素ai构成A1＝{ai}，其中i∈{1，2，3，…，n}，且A2与A3中元素的和相等．求证：n为奇数． 3．已知实数集A＝{a1，a2，…，an}（n≥3），定义φ（A）＝{aiaj|ai，aj∈A，i≠j}． （Ⅰ）若A＝{﹣2，0，1，2}，求φ（A）； （Ⅱ）若φ（A）＝{0，﹣6，﹣8，﹣12，12，18，24}，求集合A； （Ⅲ）若A中的元素个数为9，求φ（A）的元素个数的最小值． 4．设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，xm}，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集． （Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） （Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值； （Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值． 5．对于正整数集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，⋯，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集． （Ⅰ）判断集合B＝{1，3，5，7，9}是否为平衡集，并说明理由； （Ⅱ）若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数； （Ⅲ）若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7． 6．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同 时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”； （1） 试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2） 已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结 论； （3） 设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既 是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由． 7．对于任意有限集S，T，定义集合S﹣T＝{x|x∈S，x∉T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}． （1） 若A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，1}，求集合C和|C|； （2） 已知D为有限集，若D⊂（0，+∞），证明：|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1． （3） 若|C|＝3，求|A|•|B|的值． 8．定义两个非空数集A，B的“和集”为A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，对有限集合X，记card（X）＝|X|． （1） 已知A＝{1，2，3}，B＝{﹣a|a∈A}，求出A+B与|A+B|； （2） 任取非空有限数集A，B，证明：|A+B|≥|A|+|B|﹣1； （3）S＝{﹣2022，﹣2021，…，2021，2022}的非空子集T满足：∀a，b，c∈T，都有a+b+c≠0，求|T|max． 9．已知，集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，x