专题09 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题09 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 5 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 9 【类型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 14 【类型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 21 【类型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 26 【典型例题】 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【变式训练】 1．在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【变式训练】 1．已知在中，，且=．作，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数． 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图所示，D为内一点，平分，， ，若，， 求：线段的长．    【变式训练】 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【类型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．    (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．    (1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________． (2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由． (3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是． 2．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点． (1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．） (2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明； (3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________． 【类型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中． (1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值； (2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：． (3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值． 【变式训练】 1．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数 【类型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（2022秋·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．    【变式训练】 1．（2