第07讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练)-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第2章第07讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练) 目录 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 1 【类型二 利用乘法公式进行计算】 4 【类型三 整体代入求值】 6 【类型四 新定义型运算】 9 【类型五 二次根式的分母有理化】 12 【类型六 复合二次根式的化简】 18 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，再根据勾股定理求解． 【详解】解：， ，， 该直角三角形的斜边长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知则的值是 ． 【答案】9 【分析】根据根式的非负性结合非负式子和为0，它们分别等于0，即可得到答案； 【详解】解： ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题考查根式的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0，它们分别等于0． 2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】4 【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则， ∴的算术平方根是4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键． 3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数、满足，则的平方根为 ． 【答案】/3或/或3 【分析】根据算术平方根的非负性，求得的值，进而得出，代入代数式，然后再求平方根即可求解． 【详解】解：∵实数、满足， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根的定义是解题的关键． 4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长 ． 【答案】或或 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足， ∴，， 解得（负值不合题意，舍去），或， 当直角边长分别为2，2时，则第三边长为：； 当直角边长分别为2，3时，则第三边长为：； 当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为． 故答案为：或或． 【点睛】此题考查勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知实数a，b满足关系式． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）由题意，， 可得，， 解得，． （2）的算术平方根是． 【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是0． 6．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为17，是等腰三角形． 【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵a为方程的解， ∴或1， 当时，， 不能组成三角形，故不合题意； ∴， ∴的周长， ∵， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键． 【类型二 利用乘法公式进行计算】 例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算平方差和完全平方差，再计算减法，化简即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式． 【变式训练】 1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：． 【答案】2 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，正确计算是解题的关键． 3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算： 【