1.1菱形的性质与判定（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

1.1菱形的性质与判定 学习目标：1.探索并证明菱形的性质定理和判定定理. 3.掌握菱形面积的求法. 2.能灵活运用菱形的性质与判定，解决一些相关问题. 重点：探索并证明菱形的性质定理和判定定理. 难点：能灵活运用菱形的性质与判定，解决一些相关问题并掌握菱形的面积求法. 知识点一 菱形的定义 1. 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 【注意】菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等. 菱形的定义具有双重意义： 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法. 即学即练 （2022秋·九年级课时练习）如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 菱形的性质 1.菱形的四条边都相等 数学表达式：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB=BC=CD=AD 2.菱形的对角线互相垂直，且菱形的每一条对角线平分它的一组对角 数学表达式：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BD ⊥ AC 3.菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形 【注意】菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点. 特别提醒： (1) 菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等以及直线的平行、垂直等关系. (2)由菱形的性质与勾股定理的联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和. (3)如果菱形的一个内角为 60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 即学即练1. （2023·陕西西安·校考二模）如图，为菱形的对角线，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 即学即练2. (1).（2023·江苏南京·统考二模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点在上，连接并延长，交于点．若，，则四边形的周长是 ． (2).（2023春·上海徐汇·八年级统考期末）我们把两条对角线长度之比为的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ． 知识点三 菱形的判定 1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 数学表达式：在▱ ABCD 中， ∵ AB = BC，∴ ▱ ABCD 是菱形 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 数学表达式：在▱ ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ▱ ABCD 是菱形 3. 四边相等的四边形是菱形 数学表达式：在四边形 ABCD 中，∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形 ABCD 是菱形 4. ①同平行四边形的面积（底×高）；②对角线乘积的一半．（常用等面积法求菱形的高） 【注意】菱形的判定定理和性质定理是互逆定理. 判定菱形的常见思路: 四边形：①四边都相等→菱形； ②对角线互相垂直平分→菱形  平行四边形：①对角线互相垂直→菱形；②有一组邻边相等→菱形  即学即练1 (1)（2020秋·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，菱形ABCD 中，在边AD，BC 上分别截取DM=BN， 连接MN 交AC于点O，连接DO 若 ，则的度数为(   ) A．40度 B．50度 C．60度 D．70度 (2)（2021春·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，连接，，，.若四边形是菱形，则的长为 . 即学即练2 （2023春·北京海淀·九年级专题练习）如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型一 根据菱形的性质与判定求角度 例1 （2023·全国·九年级假期作业）如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1-1.（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，对角线相交于点，且互相垂直平分，若，若上有一点，使，那么 ． 1-2.（2023春·江苏·八年级校考竞赛）如图，菱形的顶点C在直线上，若，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 1-3.2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，，，则的度数为 ．    题型二 根据菱形的性质与判定求线段 例2（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为 ． 举一反三 2-1.（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，P为对角线BD上的一个动点，过点P分别作AD、AB边的垂线，垂足分别为E、F两点，连接PE，PF，则PE