专题03 根的判别式、根与系数的关系（知识串讲+8大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

专题03 根的判别式、根与系数的关系 考点类型 知识一遍过 （一）根的判别式 概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac ①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。 ②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。 ③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。 ④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。 （二）根与系数的关系 （1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？ 根据求根公式可知， x1＝，x2＝． 由此可得 x1＋x2＝＋＝＝－， x1x2＝·＝＝． 因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系： x1＋x2＝－，x1x2＝． （2）注意事项： 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。 （三）根与系数的关系常见变形 常见与两根有关的代数式变形 ①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=; ③+=; ④=-4x1x2 考点一遍过 考点1：由△判断根的情况 典例1：（2023春·安徽·八年级统考期末）下列方程中，没有实数根的是(    ) A． B． C． D． 【变式1】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（2023春·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 考点2：由根的情况求字母取值 典例2：（2023秋·新疆阿克苏·九年级统考期末）若关于 x 的一元二次方程有实数根，则实数k 的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数满足（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式2】（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程（a为常数）有实数根，那么a满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式3】（2023·河南周口·校联考二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 考点3：由△证明根的必然情况 典例3：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)证明该方程有实数根； (2)当m=4时，该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长，求该三角形周长． 【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【变式2】（2018秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0． （1）证明：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实根，第三边BC的长是5． ①当k＝2时，△ABC是　 　三角形？（直接写出结果） ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 【变式3】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 考点4：△与三角形的综合 典例4：（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：    (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的值. 【变式1】（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若此方