专题10 双曲线中的最值问题-2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

专题10 双曲线中的最值问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．42 6．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 7．双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为8 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 10．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（    ） A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1 B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于 C．的最短长度为6 D．满足的直线有4条 11．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 12．已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为 . 14．双曲线：的左，右顶点分别是，，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，，则的最小值是 ． 15．已知点，若双曲线的右支上存在两动点，，使得，则的最小值为 . 16．已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 18．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值. 19．已知双曲线过点，左､右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左､右两支分别交于两点. (1)求双曲线C的方程； (2)记直线的斜率分别为，求的最小值. 20．设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 21．已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率． (1)求的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值． 22．已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线Γ的方程； (2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值. 原创精品资源学科网独