专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 5．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（    ） A．6 B． C． D．4 8．设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则△BST的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（    ） A．的面积为 B．点的横坐标为2或 C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．该双曲线的离心率为 B．若，则的面积为 C．点到两渐近线的距离乘积为 D．直线和直线的斜率乘积为 11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D． 12．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（    ） A．存在四条直线，使 B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是 D．存在直线，使弦的中点为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 15．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为 ; 16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 18．已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，． (1)求的方程； (2)过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：． 19．设双曲线的焦距为6，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点. 20．已知双曲线的左顶点为A，虚轴上端点为，左、右焦点分别为，，离心率为，的面积为4． (1)求双曲线的方程； (2)若过且与轴的夹角在内的直线交双曲线于两点，的面积为，求的方程． 21．已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值. 22．在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，