第十二章 全等三角形（本章小结与复习）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十二章 全等三角形 本章小结与复习 一、本章知识结构图 老师对你说： 知识点1. 全等三角形性质 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 知识点2 全等三角形 1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路： 知识点3 全等三角形的应用： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 证明两线段相等 　 1.两全等三角形中对应边相等。 　 2.同一三角形中等角对等边。 　 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。　 4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 　 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 　 6.等于同一线段的两条线段相等。 证明两角相等 　　1.两全等三角形的对应角相等。 　　2.同一三角形中等边对等角。 　　3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 　　4.两条平行线的同位角、内错角。 　　5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 知识点4 两个基本尺规作图： 1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等） 已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B' ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。 知识点5 角的平分线的性质和判定 1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 3 .重要拓展 （1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 （2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 4 .证明几何命题的一般步骤 （1）明确命题中的已知和求证。 （2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。 （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写