12.3 角的平分线（第一课时 角的平分线的画法及性质）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十二章 全等三角形 12.3角的平分线的性质 第一课时 角的平分线的画法及性质 学习目标： 1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。 2.会利用尺规作一个角的角平分线。 3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。 4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。 【学习重难点】 角的平分线的性质的证明及运用。 老师对你说： 知识点1 作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 知识点2 角的平分线的性质 1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). 3、定理的作用：证明线段相等. 4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 5.证明几何命题的一般步骤 一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）. 明确命题中的已知和求证； （2） 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3） 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1 作已知角的平分线 【例1-1】 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法) 【例1-2】在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。 (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线； (2)求的度数. 【例1-3】如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点，若，，则的面积是（   ）      A． B． C． D． 知识点2 角的平分线的性质 【例2-1】如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为 ．    【例2-2】如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝　 　cm． 【例2-3】如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 　 　cm． 【例2-4】如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 能力强化提升训练 1 .如图，，是的中点，平分，求证：平分．    2.如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．    3 .如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 4.如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F． （1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等； （2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想． 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1．如图，为的角平分线，，，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 2.用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（    ） A． B． C．D． 3 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 4 .在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（    ）    A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 5. 如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（　　）    A． B． C． D． 6 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到