12.3 角的平分线（第二课时 角的平分线的判定）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十二章 全等三角形 12.3角的平分线的性质 第二课时 角的平分线的判定 学习目标： 1.掌握角平分线的判定定理的内容； 2.会用角平分线的性质和判定证明； 3.会作一点到三角形三边距离相等. 【学习重难点】 角的平分线的判定的证明及运用. 老师对你说： 知识点1 角的平分线的判定 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE， 点P在∠AOB的平分线上。 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用 1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段． 2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的. 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1 角的平分线的判定 【例1-1】在和中，，，． (1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【例1-2】已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【例1-3】如图，已知和中，B，C，E在同一条直线上，，，，，与交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用 【例2-1】如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论： ①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 　 　（填序号）． 【例2-2】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【例2-3】在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　． 能力强化提升训练 1 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线， 连接DE． （1）求证：点E到DA，DC的距离相等； （2）求∠DEB的度数． 2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 3.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F． （1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 　 　，并证明； （2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 　 　，并证明； （3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 . 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1 .小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 2 .黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（　　） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂