第1章全等三角形（辅助线-截长补短） 讲义 2023—2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形（辅助线-截长补短） 【知识梳理】截长补短的定义 当题目中出现三条线段间的和差关系时(如a=b+c),常考虑用此法解决. "截"：就是将最长的线段a截成两段,使其中一段等于较短的一条线段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段c; "补"：就是将较短的线段b延长,使延长的线段长度为c,相当于将线段b,c拼成一条线段,再证明此线段的长等于a. 用截长补短法解决问题的关键,是用"截"或"补"的手段去构造线段. 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 【典型例题】 题型一：截长补短法求线段关系 【例题】如图，在中，，于D，求证：． 【变式训练】 1.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC. 2.如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：． 3.如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 题型二：截长补短法的综合题 【例题】如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1.已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 2.(1)问题背景： 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ． (2)探索延伸： 如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由． 3.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN． (2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． (3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．    4.如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D． (1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD (2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由． (3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由． 5.如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 6.（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 $$