1.4 空间向量的应用 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4空间向量的应用 点的向量表示 如何用向量表示空间中的一个点? 如图1.4-1，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量. 我们知道，空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 空间直线的向量表示 如图1.4-2，a 是直线的方向向量，在直线上取=a，设P是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线上的充要条件是存在实数t，使得 =ta，即=t 如图1.4-3，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+ta， 将=a代人上式，得 =+t， 空间直线的向量表示 平面的向量表示 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面?如果能确定，如何用向量表示这个平面? 如图1.4-4，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a 和b，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 =xa+yb. 平面的向量表示 如图1.4-5，取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y，使 =+x+y. 平面的向量表示 如图1.4-6，直线L⊥α，取直线的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量(normalvector)，给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系? 空间中直线、平面的平行 如图1.4-8，设u1，u2 分别是直线l1，l2的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行;反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以 l1∥l2 ⟺ u1∥u2 ⟺ 存在λ∈R，使得u1=λu2. 空间中直线、平面的平行 如图1.4-9，设u是直线的方向向量，n是平面α的法向量，l不在α内，则 l//α ⟺ u⊥n ⟺ u·n=0. 如图1.4-10，设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α//β ⟺ n1//n2 ⟺ 存在λ∈R，使得n1=λn2. 空间中直线、平面的垂直 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 如图1.4-13(1)，设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2 ⟺ u1⊥u2 ⟺ u1·u2=0. 空间中直线、平面的垂直 如图1.4-13(2)，设直线l的方向向量为u，平面α的 法向量为n，则 l⊥α ⟺ u∥n ⟺ 存在λ∈R，使得u=λn 如图1.4-13(3)，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β ⟺ n1⊥n2 ⟺ n1·n2=0. 1.已知平面α的一个法向量是（2，-1,1），α∥β，则下列向量可作为平面β的法向量的是（ ） A.（4,2，-2） B.（2,0,4） C.（2，-1，-5） D.（4，-2,2） 课堂练习 2.已知平面α内两向量a=（1,1,1），b=（0,2，-1），且c=ma+nb+（4，-4,1）, 若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为（ ） A.-1,2 B.1，-2 C.1,2 D.-1，-2 课堂练习 3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉=π，则l与α所成的角为（ ） A. B. C. D. 课堂练习 4.已知A（0,1,1），B（0,2,0），C（3,0,0），O（0，0,0），则点O到平面ABC的距离是（ ） A. B. C. D. 课堂练习 5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3,BC=5. (1)求证: AA1⊥平面ABC; (2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值. 课堂练习 学生回顾思考知识点；教师补充归纳总结 课堂小结 课时作业1.4 布置作业 谢谢！ $$