3.1.1 函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念 学习引言 客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如，天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低;我国高速铁路营业里程逐年增加，已突破2 万公里......所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。 问题引入 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位: h)的关系可以表示为 S=350t. 这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数. 学习引言 随着学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具; 函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要基础. 本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法。在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法. 思考 有人说：“根据粗对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？ 变量t的变化范围 列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是： S=350t. t的变化范围是数集A1={t|0≦t≦0.5}；S的变化范围是数集B1={S|0≦S≦175}. 问题引入 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资(单位:元)是他工作天数d的函数吗? 问题引入 问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index)简称AQI变化图,如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数 (AQI)的值I?你认为这里的I是t的函数吗? 问题引入 问题4 国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高. 你认为按表 3.1-1 给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数? 总结归纳 尝试概括上述函数的共同特征. 包含两个非空数集; 都有一个对应关系; 对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作 y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). 区间 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定: (1)满足不等式a≦x≦b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]; (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b); (3)满足不等式a≦x<b或a<x≦b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b)或(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 区间 这些区间的几何表示如表3.1-2所示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 思考 实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞） 我们熟悉的实数集R如何表示呢？ 如表3.1-3，我们可以把满足x>a，x>a，x<b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b). 课堂练习 1.托马斯说:“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断:下列关系属于集合A={-1,0,1} 到集合B={0,1}的函数关系的是( ） A.y=2x B.y=|x| C.y= D.y=x2 课堂练习 2.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D(x)=，狄利克雷函数的发现改变了数学家们“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D（x）有以下四个命题，