13.1.2 .1 线段的垂直平分线的性质与判定课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

13.1.2 线段垂直平分线的性质 第十三章 轴对称 人教版八年级(上) 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证. 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 数学建模 知识点：线段的垂直平分线的性质与判定 动手实践 在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 分析： 先探究一点到一边 证明该点特殊位置 解决实际问题 探究一： 在平面中找一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等. 分析： 线段 AB 的对称轴 证明 PA = PB 找到点 P 所在的特殊直线 已知 证明 证明 PA = PB 在平面中找一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等. 转化探究 如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC=CB，点 P 在 l 上.求证 PA = PB. 证明：∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB． 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____. 相等 几何表达： 如果 l⊥AB，AC = CB， 那么对 l 上任意一点 P， 有 PA = PB. 1.如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，连接 DC，若 AB = 3.7，AC=2.3，则△ADC 的周长是_____. 6 探究二：如果在平面内一点 P (不在线段上)使得它到线段 AB 的距离相等，那么点 P 是否在线段的垂直平分线上？ 分析： 过 P 作 PC⊥AB 证 AC = BC 如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB，PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C． ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 又 PC⊥AB， ∴ AC = BC． ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)． PA = PB，PC = PC， 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， 则∠PCA =∠PCB = 90°． 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的____________. 相等 垂直平分线上 直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合. 几何表达： 如果点 P 满足 PA = PB， 那么过点 P ⊥ AB 并交 AB 于点 C ， 有 AC = CB. 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 l 和 l 外一点 P. 求作：l 的垂线，使它经过点 P. 分析： 方法一：用三角尺作图； 方法二：用圆规作图. 方法二：用圆规作图. 请归纳一下作图步骤. 例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证. 解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下： 总结 ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， ∴ PA = PB. 同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC. 三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 2.如图，已知 AB = AC，AD⊥BC，AB + BD = DE ，求证：点 C 在 AE 的垂直平分线上. 分析： AB = AC AD 垂直平分 BC AC⊥BC BD = DC AB + BD = DE CA = CE 点 C 在 AE 的垂直平分线上 证明：∵ AB = AC，AD⊥BC， ∴点 C 在 AE 的垂直平分线上. ∴CA = CE. ∵AB + BD = DE ，AB = AC， ∴BD = DC. ∴AD 垂直平分 BC. 线段的垂直平分线的性质 ___________________与这条线段_________的距离_____ 与__________________距离_____的点在这条线段的___________上. 互逆 线段垂直平分线的点 两个端点 相等 这条线段两个端点 相等 垂直平分线 基础练习 1.如图，在△ABC 中，DE⊥AB，垂足为 E，AE=BE. (1) 如果 BD = 5 cm，那么 AD =_____cm； (2) 如果△ACD 的周长