1.2.2空间中的平面与空间向量课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1．2.2　空间中的平面与空间向量 葫芦岛市第一高级中学 数学组 本节课的学习目标要时刻牢记哦！！ 1.能用空间向量证明两平面的平行和垂直. 2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用. 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α 垂直 ，则称n为平面α的一个法向量，记作 n⊥α ． 一、平面法向量 一起来开启知识大门吧！ 大家一起动脑思考一下！！ 一个平面的法向量唯一吗？ 不唯一！ 1．直线与平面位置关系的判断 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：n∥v⇔ l⊥α ； n⊥v⇔ l∥α，或l⊂α ． 2．平面与平面位置关系的判断 如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：n1⊥n2⇔ α1⊥α2 ； n1∥n2⇔ α1∥α2，或α1与α2重合 ． 二、直线、平面位置关系的判定 1．三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 三、三垂线定理及其逆定理 一起看个小例题！！！！ 1．(多选)如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是 (　　) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 3.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D. 4.如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C. 1．若直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝ (　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－10 C．－2 D．10 来个随堂小测试，比比谁更快！！ THANK YOU 非常感谢您的聆听 解析：由题意有，PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，故A对； ∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，故B对； 由AC⊥BC，有三垂线定理可得BC⊥PC，故D对； 若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错． 答案：ABD 2．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，BD1为体对角线，当底面ABCD满足条件________时，有BD1 ⊥ A1C1. 解析：由三垂线定理的逆定理可知：当AC ⊥ BD时结论成立． 答案：AC⊥BD 证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图． ∵AB＝AA1＝ eq \r(2) ，∴OA＝OB＝OA1＝1， ∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1). 由eq \o(A1B1,\s\up17(――→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))，易得B1(－1，1，1). ∵eq \o(A1C,\s\up17(―→))＝(－1，0，－1)，eq \o(BD,\s\up17(―→))＝(0，－2，0)，eq \o(BB1,\s\up17(―→))＝(－1，0，1)， ∴eq \o(A1C,\s\up17(―→))·eq \o(BD,\s\up17(―→))＝0，eq \o(A1C,\s\up17(―→))·eq \o(BB1,\s\up17(―→))＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D. [证明]　如图，连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. 又DD1⊥平面ABCD， ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影， ∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影， ∴BD1⊥AB1，又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C. 解析：∵直线l的方向向量a＝(1，2，－1)， 平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α， ∴a∥m，∴ eq \f(1,－2) ＝ eq \f(2,－4) ＝ eq \f(－1,k) ，解得k＝2. 答案：A 2．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝ (　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝