专题1.5 全称量词与存在量词（讲+练，8大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题1.5 全称量词与存在量词 知识点一 全称量词 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题 2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x). 3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 知识点二 存在量词 1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词（特称）命题. 2．存在量词（特称）命题的表述形式：存在M中的一个x，使p(x)成立，可简记为，∃x∈M，p(x). 3．常用的存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 知识点三 全称命题的否定 全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). 知识点四 存在量词（特称）命题的否定 存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) 考点01 全称命题的判断 【典例1】【多选题】（2023·全国·高一课堂例题）下列语句是全称量词命题的是（    ） A．对任意实数x， B．有一个实数a，a不能取对数 C．每一个向量都有方向吗 D．等边三角形的三条边相等 【典例2】【多选题】（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）下列命题中，全称量词命题为（    ） A．存在一个菱形，它的四条边不相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．任何一个素数是奇数 D．梯形有两边平行 【总结提升】 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤： 1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． 2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题． 3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会． 考点02 存在量词（特称）命题的判断 【典例3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【典例4】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句是存在量词命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意是奇数 D．存在是奇数 考点03 判断全称命题、存在量词命题的真假 【典例5】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【典例6】【多选题】（2023春·新疆·高二统考期末）下列四个命题中假命题是（    ） A．， B．， C．，使 D．， 【典例7】【多选题】（2023秋·高一课前预习）下列结论中正确的是（    ） A．，能被2整除是真命题 B．，不能被2整除是真命题 C．，不能被2整除是真命题 D．，能被2整除是真命题 【总结提升】 1.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． 考点04 根据全称量词命题的真假求参数 【典例8】（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例9】（2023秋·高一课时练习）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是 . 【总结提升】 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． 2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 考点05 根据存在量词命题的真假求参数 【典例10】（2023·江苏·高一假期作业）若命题为假命题，则实数a的取值范围为 . 【典例11】（2023·全国·高一课堂例题）已知命题