2024年高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第4节基本不等式及其应用

第四节 基本不等式及其应用 课标要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.基本不等式 等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. 提 醒 在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立. 2.算术平均数与几何平均数 设 ， ，则 ， 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值 已知 ， ， （1）如果 是定值 ，那么当且仅当 时， 有最小值，是 （简记为积定和最小）. （2）如果 是定值 ，那么当且仅当 时， 有最大值，是 （简记为和定积最大）. 4.几个重要的不等式 当且仅当 时,等号成立. 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 不等式 与 成立的条件是相同的.( × ) （2） 函数 的最小值是2.( √ ) （3） 函数 的最小值为4.( × ) （4） 已知 , 均为实数，则“ 且 ”是“ ”的充要条件.( × ) 2. 若 ， 均为正实数， ,则 的最大值是4. 3. 易错题 函数 的最小值为 . [解析]因为 ， 所以 ， 当且仅当 时，取等号， 故函数的最小值为 . 易错提醒 本题应用基本不等式时易忽略“正”致误. 4. （新教材改编题）函数 的最大值是 . [解析]因为 ， 所以 ， 所以 ，当且仅当 ， 即 时，取等号. 5. 已知 ， ， ，则 的最小值为 . [解析] ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立. 关键能力·突破 考点一 利用基本不等式求最值 角度1 直接法求最值 例1 （1） [2022山东济南三模]已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为3. [解析] ，当且仅当 时等号成立. （2） 若 ，则 的最大值为3. [解析]因为 ， 所以 ， ， 由基本不等式得， ,当且仅当 ,即 时等号成立. 方法感悟 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数. （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值. （3）“三相等”就是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用对勾型函数的单调性求最值. 角度2 拼凑法求最值 例2 [2023湖南长沙二模]函数 的最小值为( D ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 [解析]因为 ，所以 ， ，由基本不等式得， ， 当且仅当 ， 即 时等号成立. 方法感悟 拼凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 角度3 常数代换法求最值 例3 [2022福建泉州模拟]若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是( B ) A. B. C. D. [解析]因为 ， 是正实数，所以 ， 故 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号. 方法感悟 常数代换法求解最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 角度4 消元法求最值 例4 [2023浙江杭州高三月考]已知 ，则 的最小值是 . [解析]解法一：易知 ，由 ，得 ， 则 ，当且仅当 ， 即 时取等号，则 的最小值是 . 解法二： ， 则 ，当且仅当 ， 即 ， 时取等号，则 的最小值是 . 方法感悟 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. 迁移应用 1. [2022湖北荆州期中]若 ， ，且 ，则 的最大值为( D ) A. B. C. D. [解析] ， ， ，所以 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立.故 的最大值为2. 2. [2022广东惠州二模]函数 有( D ) A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值2 D. 最小值2 [解析]解法一： ， ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立. 解法二：令 ，则 ， ，则原函数可化为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时 . 3. [2022辽宁沈阳模拟]已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为( C ) A. B. C. D. [解析