二次曲线系及应用讲义-2024届高三数学一轮复习

二次曲线系及应用 曲线系方法是优化圆锥曲线运算的一种重要方法，它本质上是对圆锥曲线的一种更深层的 认识.本节我将介绍二次曲线系方法在圆锥曲线计算中的应用，通过本节，你将会看到一些 问题通过曲线系方法将直击本质，简单明了， 一.基本原理 定理：给定五个点，其中任何三个点都不共线，则过这五个点有且仅有一条圆锥曲线.进一 步可得：由l,l2组成的曲线：(ax+by+c)(a2x+by+C)=0. 圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,则存在四点 共圆的情况必为I(ar2+by2+cx+d+e)+m(ax+by+c)(a2x+b2y+c2)=0,由干没 有xy的项.必有a,b,+a,b=0. 二.典例分析 例1.(2022新高考1卷)已知点42.)在双线C·1 ，=1(a>1)上，直线1交C干 P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和的0 (1)求1的斜率： (2)若tan DPA0=2√2，求DPAQ的面积 解析：（曲线系）点A处的切线方程为x-y-1=0,设直线AP的方程为y-1=k(x-2). AQ的方程为y-1=k,(x-2),PQ的方程y=x+b,则过这四条直线交点的二次曲线 方程为(x-y-b)x-y-1)+I[k(x-1)-y+1]k(x-1)-y+1]=0. 又因为双曲线过这些交点.比较y的系数得-k-1+1(-k1·k,)=0. 又由k+k=0,所以k=-1. 例2.(2020一卷)已知A、B分别为椭圆E:,+y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E a 的上顶点，光x心B=8,P为直线X=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另 一交点为D. (1)求E的方程： (2)证明：直线CD过定点. 1 解析：(2)设P(6,y),则1：9y-yx-3y。=0,1p:3y-yox+3y。=0,将AP,BP写 成双直线二次曲线：(9y-yx-3y。)(3y-yox+3yo)=0,因为A,B,C,D是双直线二次曲 (9y-yx-3y)3y-0x+3y)=0 线与椭圆的交点，联立方程： x2+9y2=9 考虑到A,B是已知的，且纵坐标均为0，则联立后的方程必有因式y~0=y干是将④式按 y整理得：27y2+18y-12yox)y+y(x2-9)=0 由a:x2.9=-9y2,代入得：27y2+186-12yox)y-9y6y=0 y(9y+(6y。·4yox)-yy)=0,由干交点C,D满足联立后的方程.且纵坐标不为0，干 是C,D满足方程9y+(6。-4yx)-3y6y=0,即直线CD的方程为： 9y+(6y。·4yx)-3yy=0,按%整理得-3%+(6-4x)y+9y=0. i-3y=0 3 合6.4r=0得定点（号0） 19y=0 例3.(2020山陈卷)已知椭圆C:+卡=1如>b>0)的离心率为，，且过点42， (1)求C的方程： (2)点M,N在C上，且AM AN,AD MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得 DQ为定值. 架新：2)A点处的线方程为。+号=，即+3=0。设直线M的方程助 kx·y-2k,+1=0,直线MB的方程为kx,y-2k,+1=0,直线MW的方程为-y+m=0. 由题意得k,外，=I.则过A,M,N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA,MB可表示为 r+上.+1kx-y-2k+1(k-y-26,+1=0(其中1为系数). 863 用直线MN及点A处的切线可表示为Mx-y+m)(x+y-3)=0(其中m为系数) 即石+片，24+·2k+=m~片mx+ 2 11(k+k)=m1-k),① 对比y项、x项及y项系数得l(4+k+k)=mm-3k),②.将@代入②3，消去1，m并化 }21(k+k2-1刂=Mm+3).③ 简得3m+2k+1=0,即m=- 故直线MN的方程为y=.20} 8363 直线MN过定 3 点P.16 33。又DAMN,D在以P为直径的圆上，AP中点8即为圆心Q.经检 丝，直线MN垂直于x轴时也成立.故存在g3'30使得D0/aP2 3 例4.（四点共圆的充要条件） 若两条直线L:a,x+by+c,=0(i=1,2)与二次曲线G:ar2+by2+cx+dy+e=0(a1b) 有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是a,b2+a,b=0. 证明：由l,1,组成的曲线即 (ax+by+c)ax+by+c)=0 所以经过它与G的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(！，m不同时为0)： 1 (ax2+by+cx+dy+e)+m(ax+by+c)ax+bay+c)=0 必要性.若四个交点共圆.则存在/，m使方程3表示圆.所以式3左边的展开式中含y项的 系数m(a,b,+a,b)=0.而m10(否则3表示曲线G,不表示圆)，所以a,b,+a,