2.5等腰三角形的轴对称性（第3课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章 · 轴对称图形 2.5　等腰三角形的轴对称性 第3课时　直角三角形的性质 学习目标 1. 熟练运用等腰三角形的性质与判定进行说理； 2. 理解直角三角形斜边上中线的性质； 3. 经历探究直角三角形的性质的过程，提高分析问题、解决问题的能力. 知识回顾 等腰三角形 性质 判定 等边对等角 三线合一(1条) 两边相等(定义) 两边相等(定义) 等角对等边 特 例 等边三角形 性质 三边相等(定义) 三个角都相等,都等于60° 三线合一(3条) 判定 三边相等(定义) 三个角都相等 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 例1 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC． 求证：AB＝AC． 回顾与思考 活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用 A B C D E 要证AB＝AC 已知∠EAD=∠DAC 只要证∠EAD=∠B ∠DAC=∠C 怎么想 怎么写 只要证∠B＝∠C 例1 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC． 求证：AB＝AC． 回顾与思考 活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用 A B C D E 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B， ∠DAC=∠C. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC， ∴∠B=∠C， ∴AB＝AC(等角对等边)． 变式1 已知：如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？试证明你的结论． 回顾与思考 活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用 A B C D E 条件和结论与上一题有什么变化？ 证明：∵AB＝AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). ∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B， ∠DAC=∠C. ∴∠EAD=∠DAC， ∴AD平分∠EAC． 变式2 已知：如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？试证明你的结论． 回顾与思考 活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用 A B C D E 条件和结论与上一题有什么变化？ 证明：∵AB＝AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). ∵∠EAC=∠B+∠C， ∴∠B=∠C=∠EAC. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC=∠EAC. ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC． 变式3 已知：如图，AB＝AC，AD平分∠EAC，过C点作CM⊥BC，交射线AD于点N.交射线AE于点M. 回顾与思考 活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用 A B C E (1) 图中有几个等腰三角形？你能说明理由吗？ (2) AC和BM之间有怎样的数量关系？ (2) AN和CM之间有怎样的位置关系? D M N 1.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F. 求证：BE+CF=EF. A F E C B D 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC， ∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD. ∴DE=BE. 同理CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF， 即BE+CF=EF. 新知巩固 从图中你还可以得到哪些结论？ 新知巩固 2.请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出真命题，并加以证明． A E C B D 如图，①BD平分∠ABC，②DE∥BC，③BE＝DE. 思考1 你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？ 操作与思考 活动二 探索直角三角形的性质 操作1 你能用折纸的方法将一个等腰三角形分成两个直角三角形吗？ 操作2 任意剪出一张直角三角形纸片(如图)，按下面的步骤折叠再展开. 操作与观察 活动二 探索直角三角形的性质 ① ② ③ 操作与观察 活动二 探索直角三角形的性质 思考2 图中△ACD与△BCD是等腰三角形吗？为什么？ A B C D E F 你还有什么发现？ BD=CD=AD=AB 操作与观察 活动二 探索直角三角形的性质 思考3 你能证明小明的结论吗？ A B C D 证法1：作AC的垂直平分线l，交AB于点D，连接CD. l ∵直线l是线段AC的垂直平分线，点D在直线l上， ∴DA=DC， ∴∠ACD=∠A(等边对等角)， ∴∠BCD=∠B(等角的余角相等)， ∴DB=DC(等角对等边). ∴DA=DB=DC=AB. 操作与观察 活动二 探索直角三角形的性质 思考3 你能证明小明的结论吗？ A B C D 证法2：在Rt△ABC中，∠ACB是直角，∠B是锐角. 在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D， 于是， 我们得到如下定理： 可知 DB=DC， 由等角的余角相等，可得∠ACD=∠A， 于是 DA=D