素养拓展20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 二、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 三、构造法 1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.第二种形式：形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 二、题型精讲精练 【典例1】在数列中，，.求的通项公式. 【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】因为， 所以当时， ， 又适合上式，所以. 【典例2】已知数列{}，，，求通项公式. 【答案】＝ 【分析】由题得＝，再利用累乘法求解. 【详解】∵，，∴＝. ∴＝ (n≥2)． 以上各式相乘，得.∵＝ (n≥2) 又＝1满足上式，∴＝(n∈N*)． 【典例3】已知数列中，，且对任意，都有．求数列的通项公式； 【分析】(1)构造等比数列求通项； 【详解】（1）由得 又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以. 【题型训练1-刷真题】 一、单选题 1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【题型训练2-刷模拟】 1.累加法 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（    ） A．30 B．31 C．22 D．23 4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为(    ) A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足且，则数列的第100项为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且，则（    ） A．6065 B．6064 C．4044 D．4043 8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则 A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的最小值为（    ） A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7 二、填空题 10．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则数列中最大项的数值为 ． 11．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则= . 12．（2023·全国·高三专题练习）数列