专题10 规律探究题（针对16、17、18、19题）（真题5题模拟60题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）

专题10 规律探究题（针对16、17、18、19题）（真题5题模拟60题） 1．（2023•安徽）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“◎”的个数为 　 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 　　 ． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍． 2．（2022•安徽）观察以下等式： 第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 3．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　 　块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　 　 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 4．（2020•安徽）观察以下等式： 第1个等式：×（1+）＝2﹣， 第2个等式：×（1+）＝2﹣， 第3个等式：×（1+）＝2﹣， 第4个等式：×（1+）＝2﹣． 第5个等式：×（1+）＝2﹣． … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 5．（2019•安徽）观察以下等式： 第1个等式：＝+， 第2个等式：＝+， 第3个等式：＝+， 第4个等式：＝+， 第5个等式：＝+， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　　 （用含n的等式表示），并证明． 一．解答题（共60小题） 1．（2023•淮南一模）观察下列各式： ①＝5； ②＝11； ③＝19； … （1）观察①②③等式，那么第⑤个等式为 　 　； （2）根据上述规律，猜测写出＝　 　，并加以证明． 2．（2023•濉溪县模拟）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题： （1）图6中的“☆”的个数有 　 　个； （2）图n中的“☆”的个数有 　 　个； （3）图n中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由． 3．（2023•全椒县一模）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题． （1）在图5中，白点有 　 　个，黑点有 　 　个；图n中，白点有 　 　个，黑点有 　 　个； （2）在图n中，若白点和黑点共有169个，求n的值． 4．（2023•大观区校级二模）用若干个“〇”与“▲”按如图方式进行拼图： （1）观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整： 图1 图2 图3 图4 〇的个数 3 9 21 　 　 ▲的个数 1 4 10 　 　 （2）根据你所观察到的规律，分别写出图n中“〇”与“▲”的个数（用含n的代数式表示）． 5．（2023•合肥二模）观察如图中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：　 　． （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示）； （3）若第n组图形中等