第03讲 角平分线的性质-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第03讲 角平分线的性质 课程标准 学习目标 ①角平分线的定义 ②角平分线的性质 ③角平分线的尺规作图 1. 掌握角平分的定义以及基本性质。 2. 掌握角平分线的性质并能够证明。 3. 掌握角平分线尺规作图的基本原理，并能够利用直尺和圆规进行角平分线作图。 知识点01 角平分线的定义及其性质 1. 角平分线的定义： 角的内部把角分成两个 的角的射线这是个角的角平分线。 2. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 即若OC是∠AOB的平分线，则 。且他们都等于∠AOB的 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 。 题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】 2．如图，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与直线AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【即学即练3】 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【即学即练4】 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 知识点02 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ON，MP NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∴OP是∠AOB的角平分线。 题型考点：①尺规作图为角平分线的依据。 ②尺规作图后的有关计算。 ③作图及其实际应用。 【即学即练1】 5．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，∠AOB是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于MN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是∠AOB的角平分线．小敏作图的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【即学即练2】 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【即学即练3】 7．如图，l1、l2交于A点，请确定M点，使它到l1、l2的距离相等．（用直尺和圆规） 【即学即练4】 8．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库． （1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ （2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 知识点03 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 题型考点：角平分线的判定证明。 【即学即练1】 9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【即学即练2】 10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 知识点04 三角形的角平