2.2 基本不等式（第1课时）（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第 2 章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第1课时） 1.掌握基本不等式及其结构特点. 2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 学习目标 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 【探究1】 依据这个会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 【提示】 如图，由图可知：①； ②，当且仅当a＝b时，取“＝”. 新课引入 问题：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用. 那么是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用？ 重要不等式： 一般地，∀ a，b∈R，有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立. 特别地，如果a>0,b>0，我们用分别代替上式中的a,b，可得 当且仅当a=b时，等号成立. 通常把上式称为基本不等式. 基本不等式： 基本不等式表明：两个正数的算术平方根不小于它们的几何平方数. 思考：如何证明基本不等式？ 证明：(比较法) 5 探究：如图示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ A E D C B b a ∵AB是圆的直径， ∴AD⊥BD， 又CD⊥AB， ∴△ACD∽△DCB， ∴CD2=AC·BC， 即CD=， 又∵|DE|≤|AB|， 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立. 已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2. 一正、二定、三相等 典例1 1.利用基本不等式求最值 7 解： 练一练 解： 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积xy有最大值. 证明：因为x，y都是正数，所以. （1）当积xy等于定值P时，，所以. 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值S时，，所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积xy有最大值. 典例2 2. 基本不等式的使用条件 10 上题的内容称为最值定理，即 （1）当时，，，当且仅当时等号成立. （2）当时，，，当且仅当时等号成立. 和定积最大，积定和最小. 11 一正 练一练 二定 解： 解: ∵0<x< , ∴1-2x>0. 1 2 ∴y=x(1-2x)= ∙2x∙(1-2x) 1 2 ≤ ∙[ ]2 2x+(1-2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当 时, 取“=”号. 2x=(1-2x), 即 x= 1 4 ∴当 x = 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 . 1 4 1 8 三等 方法：配凑法 练一练 解： 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 练一练 课本练习 5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小? 最小值是多少? 例1.已知,,则之间的大小关系是( ). A. B. C. D.不确定 答案：A. 解：∵ ∴ . 题型讲解 题型一：利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能. 【类题通法】 例2.（1）已知，求的最小值. 解：(1)∵， ∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为6. 题型二：利用基本不等式求最值 例2.(2)已知，且求的最小值. 解：(2)∵，且 ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. (4)注意“1”的妙用. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用 拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： 【类题通法】 已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. 【巩固练习1】 例3.已知均为正数且求证：