1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【赢在课堂】2023-2024学年高二数学同步精品课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究 直线、平面的位置关系 复习导入 新知探究 思考：我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．那么能否运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题？ 对应关系 点 直线 平面 ? 对应关系 空间向量 立体几何 平面向量 新知探究 问题1：如何用向量表示空间中的一个点？ 平面 空间 我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示. 我们把向量称为点的位置向量. 新知探究 问题2：如何用向量表示空间中直线？ 如图, 是直线的方向向量，在上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数 ，使得即. 追问：直线的方向向量是不是唯一的？ 新知探究 问题3：如何用向量表示空间中的平面？ 两条相交直线可以确定一个平面，那用向量表示平面需要？ 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ α OP=xa+yb P 新知探究 问题3：如何用向量表示空间中的平面？ α OP=xa+yb P 如图，取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使 B α A C P O a b 上式称为空间平面的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 点与向量，不仅可以确定平面，还可以表示出内的任意一点， 新知探究 追问：能否用一个向量表示空间中的平面？ 给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的. 用点和直线的方向向量来确定平面？ 如图, 直线取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量， 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 例题讲解 练习1. 1、判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线的方向向量是唯一的． (　　) (2)若点，是平面上的任意两点，是平面的法向量，则 .(　　) (3)由空间点和直线的方向向量能表示直线上的任意一点． (　　) (4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． (　　) 2、若(2，1，1)，(1，2，2)在直线上，则直线的一个方向向量为(　　) (2，1，1)　　 (－2，2，2) (－3，2，1) (2，1，－1) 答案：1、(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 答案：2、 例题讲解 例1.如图，在长方体中，是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量. 解：(1)因为轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. 例题讲解 例1.如图，在长方体中， 是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.(2)求平面的法向量. 解：(2)因为是的中点，所以，的坐标分别为，，. 因此，. 设是平面的法向量，则， 所以所以 取，则，.于是是平面的一个法向量. 利用待定系数法求法向量的步骤 设向量 设平面法向量n=(x,y,z) 列方程组 选向量 在平面内选取两个不共线向量AB,AC 取x,y,z中一个为非零值(常取±1) 赋值 结论 得到平面的一个法向量 n·AB=0 n·AC=0 列出等式 例题讲解 练习2. 已知(0，1，1)，(－1，1，1)，(1，0，0)，则平面的一个 法向量为 (　　) ．(0，1，－1) ．(－1，0，1) ．(1，1，1) ．(－1，0，0) 解：设平面的法向量为，由，，可得 取，得， -1 选 新知探究 思考：既然点线面均可用向量表示，那是否可以利用向量进一步研究点线面间的位置关系呢？ 问题4：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？ 所以， 使得 新知探究 问题5：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？ 新知探究 问题6：由平面与平面的平行关系，可以得到着两个平面的法向量有什么关系呢？ 使得 新知探究 线面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 向量运算的坐标表示 ∥ ∥ β 使得 使得 = = + = = 例题讲解 例2.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，，，，，. 求证： 证明：如图，取平面的法向量，直线的方向向量，. 因为，，所以. 因为 所以对任意点，存在，使得. 从而. 所以，向量也是平面的法向量.故 例题讲解 例3.如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，的坐标分