1.3空间向量及其运算的坐标表示7题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示7题型分类 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 二、空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 四、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. （一） 求空间点的坐标 (1)空间直角坐标系有的作用: 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化; (2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标: x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0,y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0,z)． (3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标: Oxy平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz平面上的点的坐标为(x,0,z)． (4)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上； ②充分利用几何图形的对称性． (5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标. 题型1：求空间点的坐标 1-1．（2023春·高二课时练习）在长方体中，，，建立适当的空间直角坐标系并确定点的坐标． 1-2．（2023·高二课时练习）在直三棱柱中，为等腰三角形，，E、F分别是、BC的中点，且，，请建立空间直角坐标系，并求各点的坐标. 1-3．（2023春·高二课时练习）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 1-4．（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． （二） 空间点的对称问题 （1）空间直角坐标系中对称点的坐标： ①点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); ②点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); ③点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); ④点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); ⑤点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c); ⑥点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c); ⑦点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c). （2）空间点对称问题的两个技巧： ①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． ②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型2：求空