专题04 两直线的交点7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题04 两直线的交点7种常见考法归类 1、判断直线的交点及由交点求参数 （1）设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 （2）已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 注意点： (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 2、过两直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 注：（1）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． （2）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. （3）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 3、求两直线的交点坐标 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线． 4、求过两直线交点的直线 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解． 5、解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 6、三线围成三角形面积问题 先确定三角形的形状，再根据相关知识点求面积 7、直线交点系方程及其应用 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求直线的交点 考点二 由方程组解的个数判断直线的位置关系或求参数 考点三 由直线交点的个数求参数 考点四 由直线交点坐标求参数 考点五 多直线交点问题 考点六 经过两直线交点的直线或直线系方程 考点七 三条直线围成三角形问题 考点一 求直线的交点 1．（2023·全国·高二）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 2．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 3．（2023秋·高二校考课时练习）已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为 . 4．（2023秋·四川巴中·高二统考期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： (1)直线的方程； (2)顶点的坐标． 考点二 由方程组解的个数判断直线的位置关系或求参数 5．（2023秋·高二课时练习）思维辨析（对的写正确，错误的写错误） （1）若点在直线上，则．( ) （2）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( ) （3）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( ) （4）若直线与直线的交点为，则．(