2.1.1 倾斜角与斜率 精讲（7大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.1 倾斜角与斜率 重点：1、直线的倾斜角的概念；2、直线的斜率公式； 难点：1、直线的倾斜角公式与斜率的变化关系；2、直线的斜率公式。 一、直线的倾斜角 1、定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准， 轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：。 当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 【注意】 1、定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 2、从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 4、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 二、直线的斜率 1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系， 在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然． 因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 4、斜率公式 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. 题型一 求直线的斜率 【例1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）经过、两点的直线的斜率为 ． 【变式1-2】（2022秋·重庆北碚·高二重庆市兼善中学校考阶段练习）过两点和的直线的斜率为（ ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】（2022秋·广东湛江·高三校考阶段练习）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为 . 题型二 求直线的倾斜角 【例2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，直线与轴的夹角为，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D．无法计算 【变式2-1】（2023秋·高二课时练习）一束光线射到轴上并经轴反射．已知入射光线的倾斜角，则反射光线的倾斜角 ． 【变式2-2】（2022秋·高二课时练习）（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·河北石家庄·高二校考开学考试）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型三 由倾斜角与斜率求参 【例3】（2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）已知，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A． B． C． D．5 【变式3-1】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）设m为实数，过两点的直线l的倾斜角为．求m的值（ ） A．m＝﹣1或m＝﹣2 B．m＝﹣2 C． D．m＝﹣1 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（ ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【变式3-3】（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型四 斜率与倾斜角的关系 【例4】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在下列四个命题中，正确的是（ ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【变式4-1】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（ ） A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135° B．经过两点的直线的倾斜角为锐角 C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 【变式4-2】（20