专题22.29 实际问题与二次函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题22.29 实际问题与二次函数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）． (2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5）检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6）写出答案． 常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【知识点2】建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：（1）恰当地建立直角坐标系；（2）将已知条件转化为点的坐标；（3）合理地设出所求函数关系式；（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式；（5）利用关系式求解问题． （1）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. （2）对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【考点一】实际问题与二次函数➼➼➻图形问题 【例1】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． （1）长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】（1）（36-3x）；（2）8；（3）当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 【举一反三】 【变式1】如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为（ ） A．6 B．18 C．36 D．144 【答案】B 【分析】设，，根据题意表示四边形的面积，根据二次根式的性质作答即可． 解：如图，设AC、BD交于点M 设 四边形的面积即四边形的面积 当时，四边形的面积最大，最大为18． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质与最值问题、四边形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，0） 【分析】根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标． 解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4， ∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4）， ∴OD＝4， ∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D， ∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上， ∴CD∥AB，即CD∥x轴， ∴CD2＝5， ∴AD＝5， ∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5， ∴AO3， ∵AB＝5， ∴OB＝5﹣3＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，