4.5 一元二次方程根的判别式 教案 2022-2023学年青岛版数学九年级上册

4.5一元二次方程根的判别式 教学目标 1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程: 2.能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证: 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围. 教学重难点 一元二次方程的根的情况 教学过程 1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解方程:x2+2x+5-=0 方法1a=1,b=2,c=5. .'.b2-4ac-22-4×1×5=-16<0. 所以无法用公式法解这个方程 方法2配方,得(x+1)2=-4 因为任何实数的平方都不可能是负数,所以任何实数都不会 是原方程的根。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2-4ac≥0时, 可用求根公式x=-b±6-4ac 求出它的根. 2a 当b2-4ac<0时,根的情况如何表述呢? 在有理数范围内解下列方程 1.x2-4=0 X=2或x=-2 2.x2-3=0解不了,能称它无解吗?很显然不能!它只是没有有 理数解而已。当我们学了无理数之后,我们轻易能得到, 和 这两个解,这是因为数的范畴扩大到实数了,现在b2-4ac<0在实数 范围内不能开方了。很显然只是在实数范围内的无解。 那么b2-4ac<0是我们解一元二次方程是我们必然会面对的情 况,我们该如何描述呢? 方程:x2+2x+5-0 解:这里 a=1,b=2,c=5. .∴.b2-4ac-22-4×1×5=-16<0. ∴.原方程没有实根 一元二次方程的根的情况 1.当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根 2.当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 3.当4=b2-4ac<0时,方程没有实数根 反过来 1.当方程有两个不相等的实数根时,△=b2-4ac>0 2.当方程有两个相等的实数根时,△=b2-4ac=0 3.当方程没有实数根时,△=b2-4ac<0 例题:已知关于x的方程x2一2(k十1)x十k2=0有两个不相等的实数 根 (1)求k的取值范围: (2)求证:x=一1不可能是此方程的实数根. 解:(1),关于x的方程有两个不相等的实数根,.△=4(k+1)2一 42>0,k>- (2)证明:若x=一1是方程x2一2(k+1)x+k2=0的实数根,则有 (-1)2+2(k+1)+k2=0,即k2+2k+3=0..△=b2-4ac=-8 <0,故此方程无实数根,k值不存在,x=一1不可能此方程的实数 根 问题一:不解方程,判断下列方程是否有解? 1D2x2+5x+7=0; 2)3x2+x=0, (3)x2-4K=2k+3。 提示:步骤:第一步:写出判别式△;第二步根据△的正负写结论。 问题二:已知方程及其根的情况,求字母的取值范围。 三次方程2mx2+8m(x+1)=-x,当m为 值时, (1)方程有两个不相等的实数根: (2)有两个相等的实数根: (3)没有实数根。 提 示 先 把方 程变形 2mx2+(8m+1)x+8m=0,再看△. 问题三:解含有字母系数的方程。 解方程: ax2-5x+5=0 提示:分类讨论:当a=0时,方程变为: 当a≠0时,方程为一元二次方程,再利用△确定方程的根的个数, 用求根公式求出解。 例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是( A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 解析:由根的判别式知,方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac >0,同时要求二次项系数不为0,即(-1D2+4k>0,k≠0.解得k>-1且 k≠0,故选B. 例3:不解方程,判断下列方程的根的情况. (1)3x2+4x-3=0:(2)4x2=12x-9; (3)7y=5(y2+1). 解:(1)3x2+4x-3=0,a=3,b=4,c=-3, .∴.b2-4ac-32-4×3×(-3)=52>0. “.方程有两个不相等的实数根。 (2)方程化为:4x22-12x+9=0, .∴.b24ac=(-12)2-4×4×9-0. ‘.方程有两个相等的实数根。 解:(3)方程化为:5y2-7y+5=0, ∴.b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0. .方程有两个相等的实数根。 根的判别式使用方法 1.化为一般式,确定a,b,c的值. 2.计算的值,确定 的符号. 3.判别根的情况,得出结论. 课堂练习 1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是(D) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1-0的根的情况是(A) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中,有实数根的是(C) A