4.5 一元二次方程根的判别式 教案 2022-2023学年青岛版数学九年级上册

4.5一元二次方程根的判别式 教学目标 1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程： 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证： 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围， 教学重难点 一元二次方程根的判别式的运用 教学过程 新课引入 我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，总 是要求b2-4ac≥0.这是为什么？ 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到： xtB-4ac 2a4a2 由于a≠0，所以4a2>0,因此我们不难发现： 当b2-4ac>0时，b-4ac>0 4a2 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 =b-2-ac,,-b+b2-c 2a 2a 此时，原方程有两个不相等的实数根。 (2)当b2-4ac0时，b-4ac=0 4a2 由于0的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根 (3)当b2-4ac<0时，b-4ac<0 4a2 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根 课内知识小结 1、一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中根的情况由b2-4ac的值的符号来 决定，所以把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式. 通常用符号 “△”表示：即△=b2-4ac。 2、一元二次方程根的情况： ①当△=b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根： ②当△=b2-4ac0时，一元二次方程有两个相等的实数根； ③当△=b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根； 例1、不解方程，判断方程根的情况： (1)2x2+x-4-0: 解：由题意，得 a=2,b1,c=-4 .△=b2-4ac =12-4×2×(-4) =33 ∴.原方程有两个不相等的实数根 (2)4y2+9=12y 解：整理，得 4y2-12y+9=0 ,'.a=4,b=-12,c-9 ∴.△=b2-4ac =(-12)2-4×4×9 =0 ∴原方程有两个相等的实数根。 例2、己知方程根的情况，求方程中字母系数的值： (1)已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数 根，求k的取值范围。 解：一元二次方程kx2-3x+1=0有 两个不相等的实数根 .△=(-3)2-4k>0且k≠0 即9-4k>0且k≠0 :k<9且k≠0 尝试与探索 上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？ 结论2对于一元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)， 当方程有两个不相等的实数根时，△>0： 当方程有两个相等的实数根时，△=0： 当方程没有实数根时，△<0。 即一元二次方程： 当△>0时，方程有两个不相等的实数根： 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根。 反过来，有 当方程有两个不相等的实数根时，△>0； 当方程有两个不相等的实数根时，△=0： 当方程没有实数根，△<0。 练一练 不解方程，判断下列方程的根的情况. 解：(1)2x2+3x-4=0,a=2,b=3,c=-4, ∴.b2-4ac-32-4×2×(-4)=41>0. .方程有两个不相等的实数根 (2)x2-x+ =0,a=1,b=-1,c .∴.b2-4ac=(-1)2-4×1×0. ∴.方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. x2-x+1=0,a=1,b=-1,c=1. ,'.b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. .方程无实数根