2.2 基本不等式课件 （1）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式 (第1课时) 课堂导入 b 赵爽弦图的不等关系 相等关系 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定 理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的 数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数 形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 a 1个小正方形 b 等面积法 ICM 2002 4.ab+(a-b2=c2 2 Beijing August20-28,2002 即a2+b2=c2 第24届国际数学家大会会标 是根据赵爽弦图设计的. 不等关系 赵爽弦图中的不等关系 (面积关系) a +b2 a,b>0 大正方形面积 大正方形面积 >4个直角三角形的面积和 =4个等腰直角三角形的面积和 a2+b2>2ab(a≠b) a2+b2=2ab(a=b) 新知讲解 a2+b2>2ab(a≠b) a2+b2 2ab(a b) 重要不等式 a2+b2≥2ab Q:对于任意的实数a,b,a2+b≥2ab成立吗？试证明。 重要不等式 a2+b2>2ab,a≠b a2+b2=2ab,a=b a,b∈Ra2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立). 变形：ab≤a+b (当且仅当a=b时等号成立). 2 证明：.…a,b∈R,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0. 作差法 当且仅当a=b时等号成立. ∴a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 [练习1]若a2+b2=4,则ab的最大值是2仅当a=b=±√2时等号成立 练习2x>0则+兰4，当且仅当-2即=时等号成立 X 思考探 如果用va,Vb去替换a2+b2≥2ab中a与b, 能得到什么结论？α，b需要满足什么条件？ a+b 基本不等式 2 (a>0,b>0) 当且仅当b时，等号成立) 均值不等式 几何平均数 算术平均数 代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数 基本不等式的几何证明： AB是圆的直径，O为圆心，，点C是AB上一点， AC=a,BCb.过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD: 你能利用这个图得出基本不等式的几何解释吗？ a+b 几何意义： ①如何用a,b表示OD? OD=2 1.在圆中： ②如何用a,b表示CD? CD=ab 半径不小于半孩 ③0D与CD的大小关系怎样？ OD≥CD 2.在直角三角形中： 斜边上的中线 不小于斜边上的高