1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第二课时 导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究. 空间向量 立体几何 距离问题 夹角问题 新知引入 问题1：如何利用空间向量研究角度问题？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角 直线方向向量的夹角 方向向量与法向量的夹角 法向量的夹角 探究交流 追问1：两条直线夹角的定义是什么？ // 规定与的夹角为 追问2：两条直线夹角的取值范围是什么？ 平面内，两条直线， 相交向形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线与 成的角（或夹角）. 空间中，两条异面直线， ，经过空间任一点O分别做直线’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把直线’与’所成的角叫做异面直线与 成的角（或夹角）. 探究交流 追问3：两条直线的夹角与它们方向向量的夹角<, >有什么关系？ 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 探究交流 A B C D M N 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 基底法 几何法 坐标法  向量与的夹角 设向量与的夹角为，则直线与夹角的余弦值等于. 解：以{，}为基底【基底选择不唯一】 又 所以直线夹角的余弦值等于 探究交流 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 基底法 几何法 坐标法  向量与的夹角 解：取中点，过作⊥平面， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 请同学们课后完成！ 探究交流 将立体几何问题转化成向量问题的途径： 途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题； 途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题. 实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底. 探究交流 用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 ①转化为求两直线，的方向向量，的夹角 回到图形问题 ③两条直线，夹角的余弦值 方法总结 问题2：如何利用向量求直线到平面的夹角？ 两条直线夹角的定义 两条直线夹角的取值范围 两条直线夹角的向量求法 直线与平面所成角的定义 直线与平面所成角的取值范围 直线与平面所成角的向量求法 直线与平面所成角问题的研究路径： 构建数学 问题2：如何直线与平面夹角的定义范围？ ⊂α ⟹ θ=0° ⊥α ⟹ θ=90° ∥α ⟹ θ=0° α的斜线 ⟹ 0°<θ<90° 构建数学 追问1：直线与平面的夹角与有什么关系？ 若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为 本质：直线与平面所成角就是它们的方向向量所成角减去90°或其余角。 构建数学 基底法 几何法 坐标法 求直线与平面所成角 角的正弦值.  向量与平面的法向量的夹角 所以直线与平面所成的角正弦值等于 探究交流 用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角 ③直线平面所成的角的 正弦值 探究交流 角的类型 角的取值范围 方向向量 与法向量 与向量夹角的关系 两条直线的夹角 两条直线的方向向量 直线与平面所成的角 直线的方向向量， 平面的法向量 课堂小结 $$