4.与圆有关的弦长、定点、定值问题讲义-2024届高三数学一轮复习

与圆有关的弦长、定点、定值问题 一、知识要点： 求直线与圆相交时弦长的方法： A(zy) B B(xzy2) 图1 图2 (1)几何法：如图1，直线1与圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的半径为，弦长为 h,则有+d=r,即=2P-d. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 4(),B(x),4B=+x=+x)-4xx 或=+以-为小++为广-4，其中长为直线的斜案 二、题型： (一)弦长问题： 1.过原点O作圆x2+y2-6x-8y=0的两条切线，设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为 与本题相关题型研究： ①求切线OQ的长： ②求四边形OPCQ的面积； ③求弦PQ的方程 ④求弦PQ的长： 2.已知圆C1:x2+y2+2x一6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y一11=0，求两圆的公共弦所在 的直线方程及公共弦长， 3.已知圆C经过点A(5,一2)和B(3,2),且圆心C在直线1：x-y一2=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)已知过点M(一3，一3)的直线2被圆C所截得的弦长为8，求直线2的方程. (二)圆上的点到直线的距离为定值的问题： 1.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有(). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2.在圆C:x2+y2-2x-2y-7=0上总有四个点到直线1：3.x+4y+m=0的距离是1，则实数m 的取值范围是 3.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线1：y=x+b的距离为2√2，则b 的取值范围是() A.(-2,2)B.[-2,2]C.[0,2]D.[-2,2 4.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个 值为() A.2 B.5 C.3D.3V5 5.设圆(x-3)?+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则 圆半径r的取值范围是 6.在下面四个命题中，正确的命题有」 y-4 ①若实数x,y的取值满足x2+y2-2x-2y+1=0,则x-2的范围为 : ②点M是圆(x-3)2+(y-2)2=2上一动点，点N(0,-2)为定点，则MN的最大值是7： ③若圆(x-3)2+y+5)2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离为1，则4<r<6; ④已知直线x+by+c-1=0(bc>0)经过圆x'+y2-2y-5=0的圆心，则4+1的最小值是9。 b c (三)定点问题： 1.已知圆C:x2+y'=1,点P为直线+兰=1上一动点，过点P向圆C引两条切线 42 PA,PB,A,B为切点，则直线AB经过定点() c停9 2.已知圆O:x2+y2=2,直线1：y=kx-2. (1)若直线1与圆O相切，求k的值： (2)若直线I与圆O交于不同的两点A,B,当∠AOB为锐角时，求k的取值范围： 3)若k=),P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC,PD,切点为C,D,探 究：直线CD是否过定点 3.已知圆x2+y2-4ax+2wy+20a-20=0. (1)求证：对任意实数a,该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x2+y2=4相切，求a的值. (四)定值问题： 1.已知圆C[x-(a-2)+(y-5a)2=16,定直线经过点4(2,0)，若对任意的实数a,定直 线1被圆C截得的弦长始终为定值d,则圆心C到直线1的距离等于() A.8B.45C.4D.2V5 2.在平面直角坐标系x0y中，已知圆C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=1,直线1经过点 (①，0).若对任意的实数m,定直线1被圆C截得的弦长为定值，则直线的方程为 3.己知过点A(0,1)且斜率k的直线1与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N两点. ①实数k的取值范围： ②求线段MN的中点轨迹方程： ③求证：AM·AN为定值： ④若O为坐标原点，且OM·0N=12,求k的值 4.已知曲线C的方程为：ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0，a为常数). (1)判断曲线C的形状： (2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O),试判断△4OB的面积 S是否为定值？并证明你的判断： (3)设直线1：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N,且0M.0N=-氵求a的值 5.如图，圆x2+y2=4与x轴交于A、B两点，动直线：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、 F,与圆交于C、D两点。 (1)求CD的中点M的轨迹方程： (2)若CE=FD莳，求直线1的方程： (3)设直线AD、CB的斜率分别为k、店是否存在实数k使得=2？若存在，求出k的值： K 若不存在，说明理