第22章 一元二次方程小结 教案 2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

章末小结■ 必教学目标必 【知识与技能】■ 1.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数.■ 2进一步深化理解一元二次方程的四种解法.能灵活运用四种解法解一元二次方程.口 3.进一步理解根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能够运用它们去解决实际问 题，综合性问题.■ 4进一步加强列方程解应用题的能力，特别是增长率问题、几何图形问题.■ 【教学重点】■ 对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法以及一元二次方程解决实际应用问 题.■ 【教学难点】■ 一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用☐ 必教学过程必☐ 一、知识体系图解■ 定义 一元二次方程 一般形式：a2十br十=0(a、6、c是常数，≠0) 「宜接开平方法 因式分解法 次 配方法 方 “一元二次方程根的判别式 李 的 解 公式法：x=二亡后4@（6-4u≥0 一元二次方程根与系数的关系 2a 多 西十x=- a西· 实列一元二次方程解应用题的步骤—审、设、列、解、验、答 与与几何图形有关的问题 索（有关增长率的问题 二、知识专题复习口 专题一巧用一元二次方程根的定义解题■ 【例1】若0是关于x的方程n一2)士+3x十ni+2n一8=0的解，求实数m的值 并讨论此方程解的情况.口 分析：此方程只是说关干×的方程，并没有说明此方程是几次方程.这需由的值来确定 它的次数.因此应分m-2=0和m-2+0两种情况讨论.■ 解：因为X=0是此方程的根。所以代入得m+2m一8=0.解得m=2,t=一4 当m-2=0,即m=2时.此方程是一元一次方程3x=0,所以×=0.■ 当m-2+0,即m+2时，此方程是一元二次方程 6d+3=0,解得五=0，= 1 所以此方程的两个解为0,2 【归纳拓展】■ (1)求一元二次方程中的某一个字母的取值范围时，依据一元二次方程的定义，应使这个 字母或含这个字母的代数式的值同时满足两条：二次项的系数不等干0且未知数的最高次 数是2.■ (2)已知一元二次方程的根求方程中未知字母系数的值时，所求出的字母值也应满足两条： 二次项的系数不等干0且未知数的最高次数是2.■ 【练习】■ 1.已知关于×的-元二次方程n一5)x+2x十n-3=0的-个根是0.求m的值★ 2.在关干X的方程m-0:+(m一2)一mu十m十1=0中，要使这个方程满足下列 条件，则m的值分别为多少？■ (1)是一元二次方程：(2)是一元一次方程.★■ 答案：1.m=-5 2.(1)m=-2(2)m=2★■ 专题二一元二次方程的解法技巧■ (1)(x+3)2=5:(2)(x-1)(2x十5)=0：3)4x(x+1)+1=0:(4)2x+3x=6. 分析：选择恰当的方法是快速解方程的有效途径.。 解：(1)直接开平方.得x十3=±5. 所以方程的解为西=一3+5，x=一3-5】 (2)由题意，得X-1=0或2x+5=0,■ 所以方程的解为西=1，=一多 2 (3)整理，得(2x+1)2=0, 1 0=五= 所以方程的解为 2 (4)化为-般式.得2x+3x一6=0， △=3-4×2×(-6)=57， 所以 -3±V质_=-3±V质 2×2 4 所以方程的解为 西=-3+ ,=二3m 4 4 【归纳拓展】 在解一元二次方程时.要观察方程的结构特点，在没给出解法要求时，解法选择的顺序是直 接开平方法、因式分解法、公式法配方法用得较少，但若二次项系数为1，一次项系数为 偶数时，用配方法也比较简单.■ 【练习】■ 用适当的方法解下列方程：■ (1)(x-2)(x-3)=2:(2)x2-8x十3=0 答案：24=1：.=4（22=43：=4-13.■ 专题三一元二次方程的应用口 【例3】某拖拉机厂，今年一月份生产出一批甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台. 从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐月递增，又知二月份甲、乙 两种型号的产量比是3：2.三月份甲、乙两种型号的产量之和为65台，求乙型拖拉机每月 的增长率及甲型拖拉机一月份的产量.■ 分析：本题直接要求的未知数有两个，间接未知量有好几个，但起制约作用并且可以承上后 下的是二月份甲、乙两型的产量，因此可以采取间接设元的方法 一月 二月 三月 甲型产量（台） 3x-10 3x 3x+10 乙型产量（台） 16 2 a+219).2x 16 解：设二月份生产甲型拖拉机为3×台，则根据题意可得■ （6x+10)+1+215)·2x=6版5. 16 解得五=10，卫=一22（不合题意. 舍去).■ 2红-15×100%=25%. 乙型拖拉机每月的增长率为16 甲型拖拉机一月份的产量为3×-10=20（台）■ 答：乙型拖拉机每月增长率为25%，甲型拖拉机一月份的产量为20台.★■ 【归纳拓展】■ 用一元二