22.3.2 用一元二次方程解决复杂的应用问题 教案 2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题 ※教学过程※ 一、复习引入 1.一元二次方程解决相关几何问题，需要充分利用平面图形的一些知识，如图形的面积公式、体积公式、勾股定理、图形的全等. 2.列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要掌握下列关系式：（两次变化） 原数×（1+增长的=后来数. 原数×（1-降低的=后来数. 3.列一元二次方程解决有关利润问题时，要掌握下列关系式：商品利润=销售价-原价=原价×利润率=单件利润×件数. 二、探索新知 【例1】 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图. （1）如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形边长为多少？ （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？ （3）你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？如果有，请你求出长方体侧面积的最大值是多少？ 解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm,根据题意，得 解得 只取x=0.5. 答：剪去的正方形边长为0.5cm. (2)根据题意，填表如下： 观察表中数据发现：随着折叠成的长方体底面积减小，剪去的正方形边长增大，折叠成的长方体的侧面积先增大后减小. （3）长方体的侧面积存在最大值. 设剪去的正方形边长为xcm,折叠成的长方体的侧面积为Scm. 根据题意可得S随x变化的函数关系式为 整理,得 配方,得 所以当x=2.5时，S有最大值为50. 答：当剪去的正方形边长为2.5cm时，折叠成的长方体的侧面积有最大值为 【例2】 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？ 分析：翻一番，即为原产值的2倍. 若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位. 解：（1）设原产值为1个单位，这两年中产值的平均年增长率为x,根据题意，得 解得 ∵增长率不可能为负值， 答：这两年中产值的平均年增长率为41.4%. （2）设第一年的增长率为x,则第二年的增长率应为2x. 根据题意，得 解得 ∵增长率不可能为负值， 答：第一年的增长率为28%时，可以实现两年后产值翻一番. 【例3】 某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系： (1)请你根据上表所给的数据表述出每件售价提高的价格（元）与产品的日销售量减少的数量（件）之间的关系. （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价多少元时，每日盈利可达到1600元？ 分析：（1）从表中可以看出，每件售价提高多少元，日销售量就要减少多少件. （2）可根据表格中“每件售价130元时，日销售为70件”，以此为基础，利用公式“每件商品的利润×销售量=总利润”列出方程，得出答案. 解：（1）由表格中数量关系可知，该产品每件售价上涨1元，其日销售量就要减少1件. （2）设每件产品的售价在130元的基础上，涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销售量为(70-x)件.根据题意，得 ［（130+x）-120］×(70-x)=1600. 解这个方程，得 x+130=160. 答：每件商品的定价为160元时，每日盈利可达到1600元. 3、 巩固练习 1.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克.已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求两者的增长率.（精确到1%） 2.某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增长（或降低）1元，销售量将减少（或增加）10台.商店若希望获得2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ （1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ （3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？ 答案：1.设新品种花生每公顷产量的增长率为x,则出油率的增长率为根据题意，得解得(不合题意，舍去).答：新品种花生每公顷产量的增长率约为14%，出油率的增长率约为7%. 2.（1）设销售定价在52元的基础上增加了x元，则每台家电所获利润为(52+x-40)元，销售量为(180-10x)台. （2）根据题意，得(52+x-40)(180-10x)=2000.解得当x