1.4.2充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 作者：Lydia Bee 目录 01 02 充要条件 充要条件与定义的关系 单击此处添加副标题内容 充要条件 PART ONE 思考：下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等。 (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等。 (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0. (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集。 充要条件 真 真 原真逆假 原假逆真 “若p,则q”形式的命题，条件p和结论q互换，即“若q,则p”为原命题的逆命题。 一般地，“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简记为充要条件。 显然，如果pq，那么p与q互为充要条件。 充要条件 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0,q:x>0,y>0； (4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0) 不是充要条件 不是充要条件 充要条件 充要条件 探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”充要条件吗？ 充要条件与定义的关系 ① 四边形的两组对边分别相等； ② 四边形的一组对边平行且相等； ③ 四边形的两条对角线互相平分； 四边形是平行四边形 充分条件 必要条件 平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 一般地，数学中的每一个定义都给出了相应数学概念成立的一个充要条件。 例4 已知:圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件 典例分析 证明：设p:d=r,q:直线l与圆O相切 (1)充分性(pq) 作OP⊥l于点P,则OP=d.若d=r,则点P在圆O上，在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P，所以直线l与圆O相切。 例4 已知:圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件 典例分析 证明：设p:d=r,q:直线l与圆O相切 (2)必要性(qp) 若直线l与圆O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l。因此，d=OP=r。 由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆O相切的充要条件。 打开课本第22-23页习题1.4第4题 充分、必要条件与集合的关系 从逻辑观点看 从集合观点看 P是q的充分条件 P是q的必要条件 P是q的充分不必要条件 P是q的必要不充分条件 P是q的充要条件 若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则 课堂小结 “若p,则q”形式 1. 充要条件 2. 充要条件与数学概念的关系 举例说明。 完成课本第22页练习1,2,3题。 课本第22页习题1.4第2题(2)(5)，第3题 课堂练习和课堂小结 1.x≥a是x≥2的必要不充分条件，则a的取值范围是_______. 2.已知a≤x≤a2+1是-2≤x≤5的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______. 3. 若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数 (1)若A是B的充要条件，则b=_______; (2) 若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____(答案不唯一，写出一个即可) 充分、必要条件求参数 1.x≥a是x≥2的必要不充分条件，则a的取值范围是_______. 解：p:x≥a，q:x≥2,由题知，p是q的必要不充分条件 所以pq,但qp，有数轴表示可以得到a<2 2.已知a≤x≤a2+1是-2≤x≤5的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______. 解：p:a≤x≤a2+1，q:-2≤x≤5,由题知，p是q的充分不必要条件 所以pq,但qp，有数轴表示可以得到 充分、必要条件求参数 2 a 小范围大范围 -2 5 a a2+1 2.已知a≤x≤a2+1是-2≤x≤5的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______. 解：p:a≤x≤a2+1，q:-2≤x≤5,由题知，p是q的充分不必要条件 所以pq,但qp，有数轴表示可以得到 检验：a=-2时，p:-2≤x≤5，q:-2≤x≤5与已知矛盾，舍 a=2时，p:2≤x≤5，q:-2≤x≤5，满足题意 综上可知，实数a的取值范围是-2<x≤2 充分、必要条件求参数 小范围大范围 -2 5 a a2+1 3. 若集合A=